Stochastik: Theorie und Anwendungen by David Meintrup

By David Meintrup

Stochastische Methoden besitzen in vielen Teilen der Technik und Informatik eine hohe Relevanz. So beruhen z.B. die meisten modernen Verfahren der digitalen Nachrichtenübertragung, der Schaltkreissimulation aber auch der Verfahrenstechnik und des monetary Engineering auf stochastischen Prinzipien.

Das Buch bietet eine fundierte und anwendungsbezogene Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Im Zentrum stehen nach einer grundlegenden Behandlung der Maß- und Integrationstheorie sowie der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie stochastische Prozesse, insbesonders Poisson-Prozesse, Martingale und Brownsche Bewegungen.

Alle Resultate werden ausführlich motiviert und exakt bewiesen. Dadurch eignet sich das Buch hervorragend zum Selbststudium und als vorlesungsbegleitende Literatur.

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Durch eine messbare Abbildung kann folglich ein Maß vom Definitionsbereich auf den Wertebereich transportiert werden. 43. Betrachten wir (R, B, λ) und (R, B), so erhalten wir durch die stetige und daher messbare Abbildung f : R → R, x → x + a, ein Bildmaß λf auf R. 41 bewegungsinvariant ist. 1 Lebesgue-Integral und Konvergenzs¨ atze Ziel dieses Abschnitts ist die Einf¨ uhrung eines Integralbegriffs f¨ ur messbare Funktionen f : Ω → R. Dieses Integral f¨ uhren wir schrittweise f¨ ur immer gr¨oßere Funktionenklassen ein.

36 gezeigt. 38 ist recht umfangreich. 39. Sind ν und µ endliche Maße auf (Ω, F) und ν ≤ µ, so gibt es eine Dichte g : Ω → [0, 1] mit ν = g µ. Beweis. F¨ ur diesen Spezialfall gibt es einen sehr eleganten Beweis, der den Darstellungssatz von Riesz-Fr´echet verwendet. Zun¨achst bemerken wir, dass aus ν ≤ µ und ν(Ω) < ∞ folgt: L2 (µ) ⊂ L2 (ν) ⊂ L1 (ν). 9) das Integral f dν endlich, also insgesamt die Linearform wohldefiniert. 9) folgt die Stetigkeit von φ. 13, ein g ∈ L2 (µ), so dass f dν = f, g = gf dµ f¨ ur alle f ∈ L2 (µ).

Es bleibt noch g(Ω) ⊂ [0, 1] zu zeigen. Sei dazu C := {g < 0}, wir nehmen µ(C) > 0 an. Dann ist ν(C) = C gdµ < 0, was nicht m¨ oglich ist. Analog sei C := {g > 1}, und wir nehmen wieder µ(C) > 0 an. Diesmal ist ν(C) = C gdµ > µ(C), im Widerspruch zur Voraussetzung ν ≤ µ. Insgesamt ist g(Ω) ⊂ [0, 1] µ-fast u ¨berall, und wir k¨onnen g : Ω → [0, 1] w¨ahlen. 38). 36 gezeigt. Den Beweis der Implikation (i) ⇒ (ii) unterteilen wir in drei Schritte: 1. Schritt: Die Behauptung gilt f¨ ur endliche Maße µ, ν: Die Summe ρ := µ + ν ist ein endliches Maß, f¨ ur das µ, ν ≤ ρ gilt.

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