Modellierung derivater Finanzinstrumente: Theorie und by Prof. Dr. Georg Schlüchtermann, Dr. Stefan Pilz (auth.)

By Prof. Dr. Georg Schlüchtermann, Dr. Stefan Pilz (auth.)

Grundlegende Begriffe wie fehlendes Arbitrage, fairer Preis, vollständiger Markt und Martingal werden anhand von einem Markt mit einem risikolosen Bond und einer Aktie definiert.
Anschließend wird mit dem Übergang zum zeitstetigen Modell die Black-Scholes Formel für Optionen hergeleitet und die Faktoren zur praktischen Implementierung eingeführt. Im umfangreichen dritten Kapitel werden Methoden der stochastischen research wie die Ito-Formel abgeleitet und der klassische Ansatz nach Black-Scholes mittels der stochastischen Differenzialgleichung präsentiert.
Der Ansatz über die Martingaltheorie nach Kreps und Harrison ist der Gegenstand am Beginn des vierten Kapitels, was once für die Bewertung komplexer Optionen (amerikanische und exotische) notwendig ist. Im letzten Kapitel sind die Grundlagen der Zinsstrukturmodelle Gegenstand der Betrachtung. Die Bewertung innerhalb der verschiedenen Ansätze (mittels Zinskurvenmodelle oder der Vorwärtsrate) wird diskutiert.
In allen Abschnitten werden numerische Methoden angegeben, die mit Programmen zur praktischen representation implementiert werden.

Arbitragetheorie anhand von diskreten Finanzmodellen - Black-Scholes Theorie (Cox-Ross-Rubinstein Herleitung) - Zeitstetige Modelle und stochastische Differenzialgleichungen - Martingaltheorie - Amerikanische und exotische Optionen - Zinsstrukturmodelle - Numerische Methoden - Softwareimplementierung

- Studierende der Mathematik, Finanz- und Wirtschaftsmathematik bzw. Wirtschaftswissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen
- Praktiker und Berufeinsteiger in der Finanzwirtschaft, insbesondere Praktiker mit Interesse an den theoretischen Grundlagen der Bewertung von Finanzderivaten

Prof. Dr. Georg Schlüchtermann, Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Stefan Pilz, Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians-Universität München

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N ) ∈ RN beschreiben lässt. Dabei entspricht θi der Menge der jeweiligen Vermögenswerte Si . Der Vektor θ beschreibt sein Portfolio zur Zeit T0 . Welchen Wert hat sein Portfolio? Dazu sei zur Zeit T0 der Preis von Si durch qi > 0 gegeben. Wir fassen alle einzelnen Preise pro Einheit zu einem Vektor q = (q1 , . . , qN ) ∈ RN , dem Preisvektor zusammen. Der Wert des Portfolios lässt sich demnach gemäß N θ , q = θ1 q1 + θ2 q2 + . . + θN qN = θi qi i=1 darstellen; dabei ist ·, · das Skalarprodukt auf Rn .

L−m)! n k n−k (k) Q Q f (Sn ). 5: Baumdiagramm eines Optionspreises im Binomialmodell Beweis (i) (i) Für j = n erhalten wir fn = f (Sn ). Den Rest beweisen wir durch „umgekehrte Induktion“ über j. Hierzu nehmen wir an, dass die Formel für ein 0 < j ≤ n richtig ist. Wir zeigen ihre Richtigkeit für j − 1. Dazu sei 0 ≤ i ≤ j − 1. 2 bin_op_233 berechnet den Wert einer europ. Option 42 2 Diskrete Modelle In der ersten Summe setze man n−( j−1)−1 n−( j−1) =0 in der zweiten Summe wurde k durch k + 1 ersetzt = 1 (1 + R)n−( j−1) setze (∗) = m −1 n−( j−1) k=0 n − ( j − 1) − 1 n − ( j − 1) − 1 + k k−1 n−( j−1)−k QUk QD (i+k) f (Sn ) := 0 1 (1 + R)n−( j−1) n−( j−1) k=0 n − ( j − 1) k n−( j−1)−k (i+k) QU QD f (Sn ).

QN+M ) und ⎛ D11 ⎜D ⎜ 21 ⎜ . ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜DN1 D =⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ .. ⎝ . 0 D12 D22 .. ... DN2 0 1 .. ... ... ⎞ D1M D2M ⎟ ⎟ .. ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ DNM ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠ 1 arbitragefrei ist. Anders ausgedrückt, Zustandspreisvektoren ψ sind faire Preise für zustandsabhängige Vermögenswerte. 34 2 Diskrete Modelle Aufgaben 1. Man zeige, dass die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem endlichen Zustandsraum von m Elementen als eine konvexe Menge P ⊂ Rm dargestellt werden kann. Es sei ein Vermögenswert S durch seinen Preis und seinen Cashflow gegeben.

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