Modelle der Mengenlehre: Widerspruchsfreiheit und by Ronald Björn Jensen (auth.)

By Ronald Björn Jensen (auth.)

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E r i n n e r t sel. Schreibweise: m ~M x M(~ v ) = EvM M) (Ev) M die A b z a h l u n g n < x . der ist und ~ absolut =M wobei ~M ist Jede e n d l l c h e U n t e r m e n g e Gilt insbesondere der kardinalen Be~rlffe M(Kard(~)) Wit benutzen . , so f o l g t mit D e f i n i t i o n x endlich sind im a l l g e m e i ~ n = ~") des E n d l l c h k e i t s b e g r i f f e s s Kardlnalzahlen wobei x abgeschlossen folgt h i e r a u s die A b s o l u t h e l t I=M 9 u z ~ ~ auf . 5. ~. F: 34 . B. : Wit werden allerdings Relativierungsindices mogllchst weglassen.

D. der Komponenten elner Formel ~ durch~ Primformel ist =Dr =Df Km(A: ~) =Df Km(t~ E; ~) I~] I~] =Df Dann gilt~ Ist Der Beweis ist einfach, da gilts M-definierbar ~ ~ Km(~) * und fundiert. D(~) < D(~) . ) -4o- (6) Wit definieren die Menge Fr(~) der frelen Variablen einer Formel dutch die Rekursion: Fr(~(tl .... tn)) =Df It i I t i ~ Vbll Fr(ts t') =Df [t,t' 1 Fr(t~ t') =Df [t,t' 1 Fr(~ A ~) =Df Fr(~) Fr(A~ ~J) =Dr Fr(~) - [z 1 ~) :Df Fr(~) Fr(Vs Ez ~) =Df (Fr(~) - [:~) u I~l Fr(xsE: Analog (4) u Fr(~) - I:I zelgt man mlt Hilfe des Rekursionstheorems nierbare Funktionen; (Fr(~) I ~ ~ FmlM~ I~,~ (wobei man benutzt, dass I ~(~) ist ^ M - definierbar ~Fml M- definierbar ist.

X g U' =Df W(a) vy U' x = a(y) = a"R"lyl x C U' (iii) a ist ein Homomorphismus, Bew. l Rxy -~ Zu zeigen ist Jetzt, dass a - I zu zeigen. h. h. : 22 - Wit definieren: I ~(x) =Dr ~y (y g U ^ R"Iyl = S"x ) falls es ein solches y glbt sonst undefiniert Zu zeigen ist: x g U ~ Da R nach Voraussetzung a(x) g D($) fundiert A Sa(x) = x . ist, f~hren wi~ den Beweis dutch R - Induktion: Ind. : Ay (Ryx Ind. Vor. d. h. h. Insbesondere S x = y) = x R"I$(y)I x ~ y = $"y folgt dann: ~(x)~(y) gilt dann: $(x) 9 $(y) = L z (z q U ^ R"Izl = S"y) 9 $(x) ~ ~"y una .

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