Matematica si parte!: Nozioni di base ed esercizi per il by Yves Biollay, Amel Chaabouni, Joachim Stubbe, Alfio

By Yves Biollay, Amel Chaabouni, Joachim Stubbe, Alfio Quarteroni

Questo manuale è stato realizzato in step with permettere ai futuri studenti di Ingegneria di affrontare con successo i propri studi. Vengono presentati alcuni concetti di base in matematica, generalmente gi� appresi prima dell'ingresso all'Universit� . Si è constatato che non tutti gli studenti hanno una padronanza completa di questo insieme di nozioni fondamentali: perciò il presente manuale fornisce un utile supporto, sotto forma sia di esercizi sia di nozioni teoriche. Il futuro studente potr� scegliere i capitoli che più lo interessano, al effective di verificare los angeles propria capacit� a risolvere problemi quali i "Problemi di revisione", ricorrendo alle proprie abilit� di ragionamento ed alle proprie conoscenze.

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Se una seconda vettura, partita dalla stessa posizione, impiega il doppio del tempo per raggiungere la persona, qual e` la sua accelerazione (ipotizzata costante)? 7. Risolvere 3 3 1 1 2 e 2 x − e− 2 x = e 2 x + 5e− 2 x . 8. a) Esplicitare y in funzione di x sapendo che ln(ey − ex ) = y + ln 2 − ln(ey + ex ). b) Risolvere log 1 (2x − 13 − 2 15 ) < 1 + log 1 2(x − 15). 9. Determinare il parametro p affinché il sistema (S): (p + 6)x + py = 3 px + y = p − 2 possieda un’infinit`a di soluzioni. 10.

7 Esponenziale e logaritmo . . . 31 Siamo quindi ricondotti a risolvere un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite: ⎧ A1 + B1 = 11 ⎪ ⎪ ⎨ A2 − 2B1 + C1 = 1 ⎪ A2 + B1 − 2C1 = −1 ⎪ ⎩ −A1 + A2 + C1 = 0 23 , A2 3 le cui soluzioni sono A1 = = 11 , B1 3 = 10 3 e C1 = 4. Osservazione. Si possono semplificare i calcoli, ponendo x = 1 nella identità polinomiale precedente: in tal modo si trova 3A2 = 11, da cui il valore di A2 .

10 Tecniche di dimostrazione . . . 35 Esempio. Sia n un intero non√negativo (n ∈ N), e sia P(n) = n2 + 7n + 12. Allora non esiste alcun n tale che P(n) ∈ N. Dimostrazione. Per ogni n , n2 + 6n + 9 < n2 + 7n + 12 < n2 + 8n + 16, da cui (n + 3)2 < P(n) < (n + 4)2 , dunque |n + 3| < P(n) < |n + 4|. 2 P(n) < (n + 3) + 1 e quindi P(n) ∈ /N cvd. Dimostrazione per assurdo (o indiretta) Consiste nel supporre la negazione della tesi e nel provare che questo conduce a una contraddizione (impossibilit`a).

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